芝諾的烏龜

芝諾 (Zeno) 曾提出一個有名的「烏龜悖論」。

希臘戰士阿基里斯跟烏龜賽跑。烏龜說，如果牠比阿基里斯先跑10公尺，那麼阿基里斯永遠都追不上牠。因為只要阿基里斯跑了10公尺，這時烏龜就又多跑了幾公尺；若阿基里斯再跑到烏龜曾經停留的點，烏龜一定又跑到阿基里斯前面去了... 如此這般，阿基里斯永遠追不上烏龜。

這悖論 (paradox) 之所以引人入勝，一個主要原因是：它看似有理，但我們卻很清楚地知曉以上的論證必有錯。用腳趾頭想也知道，善跑者怎麼可能追不上烏龜？

問題是，我們該如何說明論證的錯誤點。先撇開這個悖論中的「時空」觀念（據說，這部分仍然引發學者的爭辯），許多人同意羅素的看法：「從 Cantor 之後，在邏輯上才解決了這個悖論」。

嗯，Cantor 的確是說明了，無窮級數的和，並不一定是無窮大（可能收斂在某個數）。但... 等等，這和悖論的論證，又有什麼關係呢？

原來，論證的錯誤在於：前面的無窮個推論（每當阿基里斯跑到烏龜曾停留的點，烏龜就又往前跑了一小段路），並不能推導出「如此這般，阿基里斯永遠追不上烏龜」的結論。

換句話說，雖然每一步的推論的確都沒有錯，也「看得出來」每一步的推論，都讓阿基里斯與烏龜又多跑了一小段路，但即使有無窮多個「向前推進」的正確推論，我們仍然無法得出「追不上烏龜」的結論。

於是，邏輯上，要證明某項結論，必須經由有限個推理步驟。利用無限個逼近步驟所推得的結論，在邏輯上是無效的。