20110424 生活雜記

很是奇怪，自己明明應該有不少自由時間，為什麼每天總是匆匆忙忙，疲累不堪？

想想自己每天的一些例行事。每晚幾乎都要督促大隻的完成作業、帶小隻的讀經（最近由於大隻的闖了很久的關都沒有過，也花了許多力氣帶她讀）、並催促她們早些上床（第二天早上六點多就得起床上學）。或許，也是因為最近工作上的事情多了些，而自己總是得在小朋友入睡後才能趕寫論文、修改程式或投影片，造成睡眠不足、或睡眠品質不佳的緣故吧？（雖然知道該把工作移到早上進行，但還是習慣在晚上寫程式，真是糟糕...）

今天天氣好，早上小朋友也起得夠早，吃過早餐後就帶她們去兒童育樂中心玩。花博展期即將結束，人潮多到有些誇張。還好多數的人都去擠展館，兒童育樂中心的遊客並不算多，小朋友只需要稍稍排點隊，就可以玩到遊樂設施。

雖然不喜歡人擠人的感覺，也認為花博展區的規劃有許多缺點，但自己對花博的整體評價還是相當好的。至少，我覺得花博對於行動不便人員的考量是少見的。

由於使用的是全期間票，住家附近又有接駁車，所以有機會就儘可能去花博逛逛 -- 即使有時僅僅是從新生園區進入，穿過美術園區後再從圓山園區離開。半年來，陸陸續續也遊覽過多數的展館，對於未來館的特有植物展、第一期爭豔館的國際展覽、舞蝶館的百合戀，以及早期的迷宮花園（大概是怕遊客走不出迷宮，後來迷宮花園裡打通了許多原本較為曲折的路線）、真相館的 3D 電影等都留下頗為深刻的印象。

大隻的以前並不喜歡跟妹妹一起玩。幾個月前我開始用利誘（偶而加上一些小小的威脅）的方式，讓大隻的跟妹妹一起玩。雖然她們玩著玩著經常會爭吵或甚至打架（通常都是姊姊被妹妹打，然後大哭或大叫），但大隻的最近已經比較願意跟小隻的一起玩，想來還是頗有成就感的。

遊花博雜記

幾個星期沒有更新網誌了。不是因為什麼噗浪之類的部落格殺手，而是自己越來越懶得去維護。

由於工作的時間相當有彈性，花博（2010 臺北國際花卉博覽會）開幕沒幾天，想說先去探探行走的動線，方便日後帶小朋友遊覽，沒想到走了半天下來，卻著實感覺相當舒暢。

當天還沒八點半就出門去找花博的轉運車站。搭 2 號接駁車到圓山站後，看看時間還沒有九點，就興致匆匆地跟著一大群人轉搭 1 號接駁車到新生公園。看到身旁的大人小孩都興匆匆地往前跑（準備排隊拿夢想館的預約券），自己也不禁跟著小跑步起來（一邊跑一邊笑，怎麼大家的興致都這麼高啊）。

拿到 2:10pm 的預約券後，順著人潮往未來館走。大概是因為時間還算早，排隊的人並不算多。接著又去看了天使生活館，走了屋頂的青青步道。看著小朋友在迷宮花園裡面跑來跑去，處處充滿著笑鬧聲，自己也情不自禁地走了一趟。人潮不多時，逛花茶殿（林安泰古厝）的感覺也非常棒。

也去探了一下大佳園區，坐了坐園內線的接駁車。看過夢想館後，一路從新生館區穿過美術館區，走到圓山館區搭車回家。

由於感覺太過美好，過了幾天就和太太一起再去走一遭。想說自己很可能會去許多趟，就買了 NT$2500 的全期間票，方便日後多次進出。

雖然夢想館是人潮最多的展館，但我其實並不怎麼喜歡。感覺起來，未來館裡的各式奇珍異卉，反而更有看頭。天使生活館裡也有一個地方很有意思，明明是一塊地板，投射後卻可逼真地看到許多魚兒在水中游來游去。想到未來科技更為發達，或許四處可見這類真假難辨的影像呢...

爭豔館是太太的最愛。我對花卉花藝都沒什麼研究，卻也能隱約感到參展作品的用心與美麗。使用 152 萬個保特瓶（回收重新融合壓製保特瓶磚）所蓋的保特瓶館（流行館）據說創下多項世界第一，想想也真的是很不容易。

帶小朋友逛花博的焦點就不一樣了。只要不是靜態的展覽，小朋友好像都很感興趣。只是週末人潮特多，我們也不喜歡排長龍的等待，所以幾趟下來她們也只參觀了夢想館、迷宮花園、毛毛蟲大遊行、保特瓶館、以及晚間大佳河邊的光雕。小朋友對花博娃娃（就是那五隻花精靈和芽比）、紀念品和坐船遊河似乎最感興趣，回家後都還念念不忘呢。

20080725 生活週記

上週的清境之旅因故提前回家，在小寶寶病情穩定後，我們打算盡量帶小朋友在台北遊玩。

星期日，天氣晴。讓小傢伙選擇動物園或兒童樂園，她和妹妹都選前者。雖然氣溫熱得嚇人，但豔陽下去給動物看的遊客還是頗多。這一趟動物園之旅，在禮品店買了一隻長頸鹿的夜光石頭，算是沒有在清境農場看到小羊的補償，小傢伙很是高興。

星期三到中正紀念堂參觀「長毛象特展」。門票有些貴，成人要價兩百，小朋友則需一百八。我和太太對化石與考古都沒什麼了解，事先也沒做功課，進展場沒多久，小傢伙就吵著要去餵魚了。


比起看展覽，餵魚的成本低很多。十元的魚飼料通常可以餵上十幾分鐘。由於剛好有隻夜鷺（我其實並不確定是什麼鳥禽，還是麻煩貓鑑定一下吧）飛到不到一公尺外的石頭上（牠飛到眼前的速度頗快，把我和小傢伙都嚇了一跳），我和小傢伙都感到頗新奇。這次除了餵到魚和烏龜之外，還看到兩回夜鷺捕吃小魚的景象，小傢伙很是滿足。


放暑假前，薇閣幼稚園發給小朋友一本「臺北兒童藝術節」的「童遊世界護照」，裡面介紹了許多暑期台北市政府主辦、贊助的表演活動。想想暑假已經過去三分之一了，而我們卻都沒有帶小朋友去看這些表演，實在有些說不過去。因此，今天帶小傢伙到「台北偶戲館」去看了場野台布袋戲《神魔對決》。

自己大概有二十幾年沒有看過野台布袋戲了，因此自己是看得興味昂然。一開始團主黃文郎還花了許多時間介紹布袋戲在台灣的演進歷程，很能打動我的心。不過，音響的聲音很大，小朋友必須摀著耳朵才敢欣賞；而我的台語程度並不好，對於許多妙詞對話，其實也聽得不是很懂。

看完布袋戲，帶著小朋友到偶戲館走了一圈，看看百年來的布袋戲偶，玩玩皮影戲。問她喜不喜歡布袋戲，她回答說「很喜歡，但更喜歡偶戲館內用紙搭建的一座小小迷宮！」

產生迷宮的另一種方法

約一年多以前，曾寫了些關於「如何產生迷宮」的 Blogs。

前些時日，在書店亂逛，無意間看到一本關於資料結構與演算法的書，裡頭提到利用 Set Union 來產生迷宮的方法_{（Weiss: Data Structures and Algorithm Analysis in C++, 3rd edition, pp.331-334）}。

這個方法的概念很簡單：

1. 首先，將地圖中的每個單位 (cell) 視為個別的小集合，然後將這些集合的 collection 稱為 C。


2. 隨意從 C 裡抽出兩個集合 x, y。若這兩個集合「打掉一面牆」之後可以連通，那麼就將這兩個集合聯集 (union) 成集合 z，並將 z 放入 C 中。


3. 反覆執行步驟二，直到最後 C 只含有一個集合為止。

我覺得這個演算法很漂亮。

春假期間騰出一些時間，用 PHP5 把它實作出來。（為了避免無效率地從 C 中挑選元素，我先將所有「可被打破的牆」排序並打亂後，逐一檢視每一面牆「若被打掉後，是否相當於將 C 裡的兩個元素作聯集的動作」。）


產生的迷宮「效果」如何？我覺得還算不錯。它似乎比「稍微有些曲折的迷宮」的結果來得有變化，但並沒有「更為曲折的迷宮」所產生的迷宮那麼蜿蜒。

提升眼光的高度

在電子報上，看到龍應台的一篇文章：「自首報告：路走得寬闊，人顯得從容」。

很難形容看過以後錯綜複雜的整體感覺。或許，印象比較深的感覺就是「現實是很複雜的」。多複雜？一個例子是龍應台說的「道德不能處理法律問題，法律又不能處理政治問題」，而現實卻又不僅僅是道德、法律與政治問題。

有時想想，對一個人的了解不多，卻讓媒體新聞的炒作評論來帶領自己對政治人物的觀感，實在是件頗為悲哀（悲傷痛苦）的事。雖然看膩了、聽多了，也習慣不把它們當作一回事。但是，這些媒體評論來來去去，除了激發各個陣營「自以為是」的片面觀感，卻似乎很少能提升民眾對於「民主」、「法治」、或者「道德」的認知，這樣是否類似於「在原地空轉」，以致「太浪費社會整體資源」了呢？

很喜歡文章中所說的：「白老鼠走不出他的迷宮隧道，因為他自始至終在迷宮隧道裡打轉，沒有高度，就無法綜觀全局，看見出口」。沒有提升到一定的高度，就不容易找到出口（或者問題的解答）。

因此，就像文章所說，真正的問題應該是：「我們眼光的高度要放在哪裡，才能在複雜混亂中看見出口？」看待紛亂的的社會，應該從這樣的角度著手；而即使範圍縮小，思考公司、實驗室、乃至於個人的的研究與發展，似乎也應如是。

摸著牆走迷宮

在迷宮裡，要如何找到出口呢？

很多人應該都聽過「摸著牆壁走」的方法：只要一直摸著右邊（或者左邊）的牆走，最後一定可以走出迷宮（例如，「迷宮、黃金比、索馬立方體」這本書，就有提到這種策略）。

但是，為什麼這種策略可以行得通呢？


原來，在概念上，沿著一邊的牆壁走，就相當於在執行「深度優先搜尋」(DFS, depth-first search)。參考上面的圖形，應該可以給我們一些感覺：給定左側的小迷宮，目標是由 A 點走到 C 點；而迷宮的樹狀圖（在此先假設迷宮任兩點間只有唯一的一條路）如中間圖所示：最右側的圖，則畫出「摸著右側牆壁走」的路線（迷宮中的藍線，就相當於樹狀圖）。

這樣的走迷宮策略，有什麼限制嗎？如果，迷宮是多連通（multiple-connected，兩個迷宮格之間，不必然只有唯一的路）的，那怎麼辦呢？

一般來說，即使迷宮是多連通的，「摸著牆走迷宮」的策略依然行得通。例如，在下面的圖形裡，我們要從入口 A 點，走到出口 D 點。因為 F-E-I-M-N-O-P-L-K-G-F 構成一個圈 (circle, loop)，因此從 F 到 G 有兩條路可走：F-E-I-M-N-O-P-L-K-G 或者 F-G。中間的圖形，說明了沿著右側牆壁走，依然可以從 A 點走到 D 點。（事實上，只要「迷宮出入口」不在這個圈子內 --- 例如 J 點 --- 這個方法就行得通。）


像這樣的圖說，當然不能算是證明。不過，有了直觀後，通常證明就呼之欲出了。有趣的是，這樣的走迷宮策略，與現實生活處理問題的方式，還有著可類比之處：有 時，我們會找不到方法來解決現實環境碰到的問題。這種時候，或許只能依靠「摸著牆壁走」的方式，藉由拓展對問題（空間）的認知，一步一步地走出迷宮呢。

誤打誤撞

這幾天試圖整理迷宮的 PHP 程式，讓它看起來清爽漂亮些。

「整理」的工作，大致上就是清除一些非必要（或為了除錯而加上去）的函式，在一些地方加上註解，並重寫部分的程式碼。

奇怪的是，我發現一個「違反直觀」的現象：調整「讓迷宮多轉些彎」的參數後，若「多轉彎」的機率大於「走直線」的機率，迷宮怎麼反而看起來更少曲折？（例如，右邊的兩張迷宮圖，路徑都頗「迂迴」，但下方的迷宮就比上方的迷宮有較多的轉彎。）

咦，那我之前怎麼沒有發現？當初不就是因為覺得迷宮不夠蜿蜒，才加入「轉彎」的考量啊；而且，加入轉彎的參數後，迷宮不是也「真的」更蜿蜒曲折了嗎？（參考一個月前的 posts：稍微有些曲折的迷宮與更為曲折的迷宮。）

這下可有趣了。根據經驗，這要嘛是自己在實作時，把參數的意義弄反了；否則就是程式不知道哪兒寫錯了，誤打誤撞後，讓加入多轉彎參數的結果，比沒有加入參數的輸出要來得曲折。

花了許多時間追蹤，才發現真的有另一個地方出了些差錯；而「負負得正」，兩個錯誤合起來，就產生出「看似正確」的結果。

如果沒有這番整理，雖然程式仍然可以產生曲折的迷宮；但不管怎麼說，這程式其實都是實作錯誤的。有趣的是，對於「產生曲折迷宮」的目的而言，這個錯誤的程式，或許還是「無傷大雅」、甚至「合於規格」的：我們只要把參數往相反的方向調整就好了（例如，希望得到「多轉彎」的效果，本來應該把「多轉彎」的參數調高，但現在只要反向調低即可）！

程式改好後，我突然有種感覺：「誤打誤撞」似乎也是「實驗」的一種有趣特性呢。

即使不必上班，日子依舊忙碌

又過了兩個不必上班的星期。

這十幾天來，做了些什麼事情呢？星期一、三、五陪同太太帶寶寶出門，星期二、四在家裡陪寶寶。雖說陪寶寶玩樂、看著寶寶長大，也經常會得到強烈的幸福感，不過一旦想起「還有許多待做的事情未做」、「還有許多想看的書未看」，就會滿心愧疚。

還好，利用早上大家還在睡覺的時間，自己倒也是做了許多事情。除了寫幾篇 Blogs、嘗試著修改程式，讓迷宮更為曲折外，還有些「登不上台面」、但卻也重要的瑣事。例如，檢視前些日子從學弟妹們那裡取得的「古契書」文字檔。

雖然不甚確定，但我覺得「如何檢索這些古契書」，是項老師與學弟妹們這幾年來做「數位圖書館」研究的一個重要項目。自己的博士論文，研究的就是關於資訊檢索 (information retrieval) 的主題，所以或可提供一些自己的經驗或心得，讓學弟妹們少走些冤枉路。

聽過兩次學弟們的報告，我猜測大家對於使用 general-purposed approaches 應該已經有了相當程度的瞭解，但或許對比較特定的應用缺乏感覺。也就是說，大家看讀過、也實驗過「同時處理多篇文件」的方式（例如，利用統計方法來斷詞），但卻可能會有「見林不見樹」的遺憾（在此，每一篇文件是樹，而整個文件集合 (corpus) 就是林）。

因此，我想採取「見樹」(the small) 的方式，從比較特定的一些文件著手，看看是否能激發學弟妹們的一些想像（以公司裡使用的詞彙來說，就是「創意」）。當然啦，要「見樹」，自然得對「樹」有相當程度的瞭解；但不幸的是：我對古契書的背景與文字內容，瞭解非常貧乏（似乎也只有歷史學者才會比較瞭解 -- 但不該以此作為藉口）。因此，很可能自己花了不少氣力描繪出來的「樹」，與實際上的「樹」會有著相當大的落差。

我想，做研究就是這樣，總是得嘗試去做些「雖然辛苦、也不知是否會豐收」的事情；而這也是「做研究」與「產品開發」的一個主要不同處吧。

更為曲折的迷宮

在「稍微有些曲折的迷宮」貼出後，MPH 提出「曲折」的建議：盡量讓迷宮多轉些彎。

說的也是。既然手頭有程式，當然應該試著修改參數、做些實驗，看看會有怎樣不同的結果？

回想一下，我們的演算法，是採用 depth-first search (DFS) 的方式來展開迷宮樹狀結構的。原先的程式，在選擇「欲打破的牆」時，並沒有加入「盡量多轉彎」的考量。現在，我們讓迷宮路徑會轉彎的機率，比直線走的機率高。

例如，假設轉彎的機率是走直線的兩倍。再假設我們現在處於節點 (2,4)，且發現其左側牆已被打通。則可知道，我們是站在節點 (2,4) 上，面向右（因為剛剛是由 (2,3) 走過來的）。於是，我們就讓 (2,4) 節點上方與下方（分別表示「左轉」與「右轉」）的牆，被打破的機率，是右側（表示「走直線」）牆的兩倍。

而這回產生的迷宮，看起來又更曲折了（參考右上方圖例，並與先前的迷宮做比較）。

這給了我們一個經驗：在定義「蜿蜒曲折」時，似乎不僅僅可「拉長兩端點間的距離」，也該考慮「轉彎的次數」！

喔，這下麻煩大了。原本「蜿蜒曲折」就是一個「未經明確定義」的詞彙；但現在它的意義，變得更複雜（拉長、多彎）後，會不會讓討論變得更模糊呢？

而且，也還有一些或許更困難、更有趣的後續討論哩。現在我們已經有了「感覺起來」頗為曲折的迷宮；但是「好」迷宮，光是蜿蜒曲折，應該還是不夠的。我們並不希望：迷宮蜿蜒曲折，但是「很好走」（例如，從入口到出口，幾乎都沒有岔路；或者，就算迷宮有很多岔路，但岔路都很短，一下就走到岔路盡頭）。

所以，接下來該怎麼延續「迷宮」的研究、討論、與實驗呢？

「稍微曲折的迷宮」之後

頗訝異於網路的高效率。

昨天貼出「稍微曲折的迷宮」後，不到半天就有人回應，說這裡有張曲折的迷宮圖，而這裡是它的路徑解答。

喔， 那可是張很大 (3002x3002) 的迷宮圖呢。很可惜，我沒有找到產生這張迷宮的演算法（與程式）。不過，有時直接看到答案，雖然會有「啊哈，原來如此」的痛快，但緊接著可能就會有些莫名 的失落。找不著答案，我們可以試著修改自己的演算法，想想如何才能產生蜿蜒曲折的迷宮。而探索，不也是一種樂趣嗎？

昨晚花了些時間，修改程式來做些實驗。終於，我們可以產生像右圖般的迷宮了。它看起來比昨天的迷宮，就蜿蜒曲折了許多（雖然我們也還是沒有定義出什麼叫做「蜿蜒曲折」）。

這個迷宮是如何被產生的呢？

回顧之前提過的一個想法：或許可藉由增加迷宮的直徑（diameter，就是最長的兩端點距離）來產生曲折的迷宮。但是，要用什麼方式來怎樣增加迷宮的直徑，才能夠依然保持演算法的簡潔呢？

一個「也算直觀」的想法，是在產生迷宮的樹狀圖（8 月 25 日 post 的集合 T）時，儘量增加 T 的高度（height，由根節點到任意節點的最長距離）。也就是說，每當我們從集合 C 裡，要選出「可被打破的牆」時，儘量選「能夠繼續增長迷宮樹狀圖高度」的牆來打破。

最簡單的一種方式，是當我們要將節點四周「可被打破的牆」放入集合 C 時（參考 8 月 25 日 post 的步驟 2），實際上只選一面牆放入集合 C （其他的幾面牆，則放入另一個串列 C2）。如此一來，我們可以讓 T 以類似深度優先 (depth-first) 搜尋的方式向外延伸，而能夠相對容易地增加 T 的高度。

那麼，如果 T 已經「碰到絕處」，無法用深度優先搜尋繼續往下增長時，該怎麼辦呢？此時，我們可以由 C2 取出最後面的牆來打破。如此持續進行，直到 C 與 C2 都是空集合為止。（喔，只是稍微修改 8 月 25 日 post 的「基本演算法」，產生出來的結果，竟然就會有如此大的差異...）

我想，或許迷宮真的是一個不錯的主題吧（連 MPH 從前也曾嘗試用「笨方法」產生曲折迷宮呢）。而回顧這些曾感興趣的問題，總讓我對從前懵懂的歲月，有著淡淡的感傷、歡喜與寂寞。

稍微有些曲折的迷宮

說過自己打算用「迷宮」來起頭，寫寫技術性文章。

也曾討論過，用 tree 來表示迷宮是一種頗為簡單、漂亮的作法。但是，從幾個產生的迷宮路徑圖來看（參考 8 月 15 日的 post），這種簡單方法所產生的迷宮「不夠蜿蜒曲折」。於是，就會想：如何才能產生比較蜿蜒曲折的迷宮呢？

一種想法是，產生迷宮時（參考 8 月 25 日的 post），讓「候選集合 C」裡，每道「可被打破的牆」被打破的機率都不一樣。不過，問題是：該用怎樣的機率分配（該如何指定每道牆被選到、被打破的機率），才能得到蜿蜒的迷宮路徑呢？到目前為止，我試了幾種簡單的機率產生方式，但對結果都不甚滿意（有沒有人可以提供建議啊？）。

換一個角度思考：我們可以觀察到，從左上到右下的路徑，必得經過中間每一直行。因此，或許可嘗試另一種方式：在迷宮中，隨意產生幾道「長長的、不可被打破的牆」，強迫從左上到右下的路徑必得「繞路」。例如，右上方的迷宮，第 10 行與第 26 行右側各有一道由上往下的長牆，第 14 行右側有一道由下往上的長牆。如此一來，產生的迷宮似乎就蜿蜒曲折了些。

我覺得，可以有「激發想法、並修改程式來實驗改進」的餘地，也是迷宮問題的有趣地方。

迷宮製作的演算法與圖例

且鼓起勇氣，試著談談「電腦平面迷宮」製作的技術細節。

需要勇氣，是因為談技術，通常容易流於枯燥與沈悶。然而，若我想要寫一篇關於「迷宮」主題的文章，卻非得督促自己去嘗試描述技術細節。因此，就讓我試著接續先前對迷宮的製作，做些更深入的描述與討論吧。

先前提過，可以用樹狀結構來產生迷宮。現在，我們可以將演算法（產生迷宮的方法）說得更仔細些。注意到，在這兒一個節點就是一個迷宮的格子；而相鄰的兩個節點間，如果沒有連結，我們說兩個格子間有一道「牆」。

1. 一開始，任選一個節點。
2. 將這個節點四周「可被打通的牆」（不含迷宮的外圍），放入一個「連結集合」C 裡。
3. 將此節點，放入「已處理之節點」集合 T 裡。
4. 如果 C 為空集合，表示迷宮已經產生完畢，我們停止程式。若 C 不為空集合，從中任意挑選一道牆（假設這道牆連結節點 n₁ 與 n₂，而 n₁ 在集合 T 裡），並打通它。
5. 如果 T 的節點與節點 n₂ 間，有連結在 C 裡，則將這些連結從 C 裡移除。
6. 將 n₂ 標示為「已處理」（放入集合 T 裡），並回到步驟 (4)。

直接看以上的演算法，可能會有「霧煞煞」的感覺。配合著一個實例來對照，應該會比較清楚。

首先，假設我們要產生一個 3x3 的小迷宮。為了方便說明，我們將迷宮的格子標上號碼（英文字母 A~I），如右圖 (a) 所示。現在，且讓我們跟著演算法的步驟走一回：

1. 任選一個節點。假設我們選到 B。
2. 將節點 B 四周「可打通的牆」放入集合 C。參考下圖 (1) 中的黑色虛線。
3. 將節點 B 放入「已處理」的節點集合 T（含有圓點的格子）。如下圖 (1) 所示。
4. 執行演算法步驟 (4)。因為 C 不為空集合（圖 (1) 中有黑色虛線存在），所以我們從中任意挑選一道牆，例如 B-E（n₂ 為節點 E）間的牆，把它打通。
5. 接下來，進行演算法的步驟 (5) 與 (6)，可以得到下圖 (2).


6. 接著，我們再次進行演算法的步驟 (4)，假設這回從 C 選出 A-B 間的牆來打通。進行步驟 (5) 與 (6) 之後，我們得到下圖 (3)。
7. 重覆執行步驟 (4)，假設這回選出 D-E（n₂ 為節點 D）間的牆來打通。
8. 執行步驟 (5)。注意到，節點 D 與 A 之間，原本有「可被打通的牆」，但因為 A 已經被放入「已處理」的節點集合 T 裡，我們在此必須把 D-A 之間的牆從集合 C 裡移除（用紅色虛線表示已由 C 移除的牆）。
9. 執行步驟 (6)，將節點 D 加入集合 T 之中。至此我們得到下圖 (4)。
10. 仿前步驟 (4)、(5)、(6)，破除 E-H 的牆，將 H 加入 T 後，得到下圖 (5)。



11. 依循步驟 (4)、(5)、(6)，破除 H-I 的牆，將 I 加入 T 後，得到上圖 (6)。
12. 依循步驟 (4)、(5)、(6)，破除 I-F 的牆，將 F 加入 T 後，得到上圖 (7)。
13. 依循步驟 (4)、(5)、(6)，破除 F-C 的牆，將 C 加入 T 後，得到上圖 (8)。
14. 依循步驟 (4)、(5)、(6)，破除 D-G 的牆，將 G 加入 T 後，得到上圖 (9)。
15. 至此，C 已經變成空集合（圖 (9) 裡，已經沒有黑色的虛線，表示已經沒有「可被打破的牆」）了，因此程式停止。我們最後產生的 3x3 迷宮，就如上圖 (b) 所示。

有時，會很訝異於自己是如此地沒有效率：即使是這麼短短的一小段內容，也需要自己好幾天的時間來構思、繪圖、撰寫、修改呢。

再談迷宮

利用樹狀結構，可以產生迷宮。

另一方面，因為樹狀結構保證了任兩個節點之間必然有唯一的一條路徑，我們也可以用程式將這條路徑「畫」出來。例如，右圖就顯示了從迷宮最左上節點，到最右下節點的路徑。

然而，產生了幾個迷宮與路徑後，會發現這種演算法所產生的迷宮，路徑似乎不夠「蜿蜒曲折」。一般的紙上迷宮，通常從起點到終點，路徑都會彎彎折折，迂迴纏繞，不像這裡產生的迷宮路徑，感覺起來頗為平順。

但是，要怎樣才能產生「蜿蜒曲折」的迷宮路徑呢？

我不知道。

雖然我猜想，應該有「直觀、漂亮、簡單」的演算法可以產生蜿蜒的迷宮。例如，或許可以嘗試讓迷宮的樹狀結構長得深一些，這樣就可以拉長迷宮的「直徑」（迷宮 中，最長的兩個節點距離），而或許路徑就會顯得比較迂迴曲折。但是，在沒有合適的模型來定義「蜿蜒曲折」、或者在還沒有實際的實驗觀察前，我現在就是不知道答案。

我覺得，許多問題就是這樣：當你不知道答案的時候，你會認為要回答問題頗有困難；但當你知道答案以後，你卻又覺得它一點也不令人感到驚奇。

而就如知道答案後，會覺得實在也沒有什麼：有時，我們會很容易覺得別人的想法比較優秀；覺得外國的月亮，就是比較圓。我想，不論是「棄之如敝屣、外國月亮圓」或者「閉門造車、敝帚自珍」，應該都與人性脫離不了關係吧。只是，既然覺得過度輕視自己、過度自以為是都不健康，我們就應該努力讓自己掙脫這樣的思想與心態，不是嗎？

迷宮

從小時候，我就對許多益智遊戲感到興趣。

一種簡單的遊戲是「走迷宮」：玩的人要從一個迷宮的某一點，走到另一點。一個典型的平面方陣迷宮，就如同右圖所示。

那麼，如何用程式來產生這樣的迷宮呢？

乍看之下，似乎不是那麼容易。然而，如果有一些圖論 (graph theory) 的背景，會發現其實是有相當漂亮的方法，來產生這類迷宮的。

將迷宮的每一方格視為一個節點 (node)。相鄰兩格若有路相通，則說此兩節點間有個連結 (link)。如此一來，迷宮中每個小方格最多會有四個（上、下、左、右）相連結的節點。要產生一個迷宮，只要任選一個小方格，再由此方格向外伸展連結， 產生一個樹狀結構 (tree structure) 來涵蓋所有的格子，就可以了。

由於在抽象模型上，我們是用 tree 來表示 (represent) 此迷宮，因此這個迷宮也會有一些有趣的性質。例如，迷宮中的任兩個方格，之間必然、且僅有一條路徑相通。